3.5 KB · ⇊ 2 parts · ⤓ Micron 3.5 KB · ⤓ HTML 24.2 KB

top

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus ϕ ϕ : : A → → B {\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B} von Abelschen Varietäten A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} eine Isogenie, wenn ϕ ϕ {\displaystyle \phi } surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie ϕ ϕ : : A → → B {\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B} , so heißen die Abelschen Varietäten A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} isogen. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.cite-ref-1[1]

• Definition

• Einzelnachweise

• Literatur

Sind A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus ϕ ϕ : : A → → B {\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B} äquivalentcite-ref-milneavpropisogeny-2-0[2]:

• ϕ ϕ {\displaystyle \phi } ist eine Isogenie, das heißt ϕ ϕ {\displaystyle \phi } ist surjektiv und der Kern von ϕ ϕ {\displaystyle \phi } ist endlich.

• A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} besitzen die gleiche Dimension und ϕ ϕ {\displaystyle \phi } ist surjektiv.

• A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} besitzen die gleiche Dimension und der Kern von ϕ ϕ {\displaystyle \phi } ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

cite-note-11. ↑ F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.

cite-note-milneavpropisogeny-22. ↑ James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)

• Serge Lang: Abelian Varieties. Springer Verlag, New York 1983, ISBN 3-540-90875-7 (englisch).

• David Mumford: Abelian Varieties. Oxford University Press, London 1974, ISBN 0-19-560528-4 (englisch).